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Vom Schatten auf der Sternscheibe bis zur Abweichung von der Ephemeride zeigen sieben Kapitel die Mathematik hinter jedem Auswertungsschritt zum Ausprobieren. Jede Formel steht neben ihrer Animation und rechnet mit, wenn Sie an den Reglern drehen.
Beim Scrollen stellt jeder Erzählschritt die Animation auf ein passendes Beispiel. Danach können Sie frei weiterdrehen, und ein Klick auf einen Schritt stellt ihn wieder her. Wo unsere echten Messungen vorkommen, sind sie als solche markiert, alle übrigen Kurven sind Modellrechnungen.
Neu beim Thema? Das Grundprinzip eines Transits zeigen wir ohne Formeln auf der Seite Exoplaneten.
Vier Größen bestimmen die Form eines Transits, nämlich das Radienverhältnis k = Rp/R★, die skalierte Bahn a/R★, der Stoßparameter b und die Periode P. Aus der Lichtkurve kommen sie über Tiefe, Dauer und die Länge der Flanken.
Bei b = 0 läuft der Planet genau durch die Sternmitte. Die Sehne über die Scheibe ist am längsten, Ingress und Egress sind kurz, und dazwischen liegt eine flache Sohle. Ohne Randverdunklung ist ihre Tiefe einfach das Flächenverhältnis.
Die Ziffern 1 bis 4 in der Kurve sind die Kontakte. 1 und 4 markieren die erste und letzte Berührung der Scheiben von außen, 2 und 3 von innen.
Je weiter die Bahn vom Zentrum entfernt liegt, desto kürzer wird die Sehne und desto länger dauern Ingress und Egress. Die Dauer vom ersten bis zum vierten Kontakt folgt aus Pythagoras auf dem Himmel und dem Bahnwinkel:
In einem Rechenbeispiel (P = 3,0 d, a/R★ = 8, k = 0,10) verliert der Transit von b = 0 bis b = 0,8 fast eine Stunde, nämlich 3,16 h gegen 2,18 h.
Bei b = 0,95 liegt der Planet nie ganz auf der Scheibe. Es gibt keinen zweiten und dritten Kontakt, die Kurve wird spitz und flacher als k². Eine V-Form in eigenen Daten heißt also nicht automatisch „kleiner Planet“.
Die gestrichelte Kurve gehört zu b = 0,7 und a/R★ = 6,0, ihr k ist per kleinste Quadrate angepasst. Sie weicht nur in Ingress und Egress ab, und dort um weniger als 2 ppt. Bei einigen ppt Rauschen pro Messpunkt sind beide kaum zu trennen.
Deshalb halten wir in der Auswertung meist die Geometrie fest. Die Werte für a/R★ und die Bahnneigung i stammen aus der Fachliteratur, angepasst werden nur die Mittenzeit Tc, das Radienverhältnis k und die Messeffekte. Die Mittenzeit leidet darunter kaum, weil sie vor allem von der Symmetrie der Flanken abhängt.
Unter „Beispiel“ laden Sie gerundete Literaturwerte von Planeten, die wir beobachtet haben. WASP-52b fällt mit k ≈ 0,165 auf. Mit 27 ppt ist sein Transit fast dreimal so tief wie der von HAT-P-33b. KELT-7b ist mit 2,7 d Periode und a/R★ ≈ 5,5 ein enger Planet um einen großen Stern, entsprechend lang ist der Transit.
Aus a/R★ und P folgt mit Kepler III sogar die mittlere Sterndichte, ohne Entfernung und Sternradius:
Werte gerundet und nur zur Veranschaulichung. Ein Fehler von 5 % in a/R★ wird zu rund 15 % in ρ★.
Am Sternrand blicken wir schräg in die Photosphäre und sehen höhere, kühlere Schichten. Der Rand ist dunkler, im Blauen stärker als im Roten. Ein Planet vor der Mitte verdeckt also helleres Licht als am Rand.
Die quadratische Randverdunklung beschreibt die Helligkeit abhängig von μ = cos θ, das in der Mitte 1 und am Rand 0 ist:
Rechts oben sehen Sie den Verlauf über den Radius. Die gestrichelte Linie ist die mittlere Helligkeit der ganzen Scheibe, 1 − u₁/3 − u₂/6.
Der relative Fluss ist eins minus dem verdeckten Anteil des Intensitätsintegrals über die Scheibe. Mandel und Agol (2002) haben das analytisch gelöst, hier wird es Ring für Ring numerisch integriert.
Am Rand verdeckt der Planet dunkleres Licht, in der Mitte helleres. Die gestrichelte Kurve unten ist derselbe Planet ohne Randverdunklung, mit flachem Boden bei k².
In der Transitmitte bei b = 0 gilt näherungsweise
Mit u₁ = 0,40, u₂ = 0,25 ist der Faktor 1,21. Aus k = 0,1058 werden so rund 13,6 ppt statt 11,2 ppt.
Unsere Messung. HAT-P-33b haben wir in der Nacht 25./26.02.2026 im Filter R beobachtet. Erwartet waren 14,4 mmag.
Wechseln Sie zwischen B und R. Im Blauen ist der Rand dunkler, der Boden runder und die Mitte tiefer. Gibt man bei ExoClock „Clear“ statt „R“ an, nimmt ExoClock andere u₁, u₂ an. Die Tiefe verschiebt sich um einige Prozent, die Mittenzeit Tc bleibt, weil die Kurve symmetrisch bleibt.
Die Koeffizienten unter „Filter“ sind grobe Richtwerte für einen sonnenähnlichen Stern. In unserer Auswertung verwenden wir derzeit feste Werte u₁ = 0,40 und u₂ = 0,25. Passende Werte für jeden Stern und Filter (nach Claret) wollen wir künftig ergänzen.
Die Apertur summiert das Sternlicht in einem Kreis und zieht den Himmel aus einem Ring ab. Ihr Radius ist ein Kompromiss. Ist er zu klein, geht bei wechselndem Seeing Licht verloren, ist er zu groß, sammelt er Himmelsrauschen.
Links sehen Sie einen Ausschnitt des Sensors um den Zielstern, Pixel für Pixel. Die Luftunruhe verschmiert das Sternbild auf typisch 2–4″ Halbwertsbreite (FWHM). Im Lauf der Nacht atmet sie, und das Bündel wird breiter und wieder schmaler.
Eine Apertur fängt nie das ganze Licht ein, sondern den Anteil der Punktbildfunktion innerhalb des Radius. Für ein gaußförmiges Sternbild:
Bis etwa 1 · FWHM steigt der Anteil steil, danach flacht er ab. Unter 1,5 · FWHM reagiert der Fluss empfindlich auf jede kleine Fehlzentrierung.
Die CCD-Gleichung sammelt alle Rauschquellen in der Apertur:
Die gestrichelte Kurve oben rechts ist das SNR über dem Radius. Bei schwachen Sternen liegt das Optimum um 0,7–1,0 · FWHM, bei hellen weiter außen, weil dort das Photonenrauschen des Sterns das Himmelsrauschen überwiegt. Drehen Sie am Sternsignal.
Bei festem r sinkt η, wenn das Seeing schlechter wird. Im Verhältnis Ziel durch Vergleichsstern kürzt sich das, solange alle Sterne dieselbe Form haben. Ist das Sternbild über das Feld aber leicht verschieden (hier ist das Ziel 8 % breiter), bleibt ein Rest, der wie ein Trend aussieht.
Setzt man pro Bild r = k · FWHM, bleibt η konstant, und der Rest verschwindet. Die Tiefe wird nicht verfälscht, weil Ziel und Vergleichssterne im selben Bild denselben Radius bekommen. Die FWHM kommt nur von den Vergleichssternen, geglättet, ohne den Zielstern.
Unsere Messungen. Bei HAT-P-42b lag das Rauschen mit fester Apertur (10 px) bei 4,36 ppt, mitwachsend (k = 2) bei 4,39 ppt. Bei ruhigem Seeing sind beide also gleichwertig. Bei WASP-52b hat im Lauf mit Dark, Flat und Bias die mitwachsende Apertur mit k = 1,5 gewonnen.
Die Atmosphäre verändert die Helligkeit aller Sterne im Feld fast gleich. Teilt man das Ziel durch eine Summe von Vergleichssternen, fällt das heraus. Übrig bleibt, was nur das Ziel tut, so gut, wie die Vergleichssterne dem Ziel ähneln und selbst ruhig sind.
Die Nacht folgt HAT-P-33b vom 25./26.02.2026: Das Ziel steht kurz nach Beginn im Meridian und sinkt bis zum Ende auf Airmass 2,3. Die Extinktion in Magnituden wächst linear mit der Luftmasse X:
Im mittleren Feld fallen Ziel (farbig) und vier Vergleichssterne (grau) gemeinsam ab. Den Transit sieht man im Rohfluss kaum.
Das Ensemble ist eine Summe der Vergleichssterne. Das Werkzeug summiert ungewichtet, hellere Sterne zählen dadurch automatisch stärker:
Unten bleibt der Transit übrig, sauber auf einer flachen Grundlinie.
Zwei Dunstfelder ziehen durch und schlucken bis zu 25 % des Lichts. Weil sie alle Sterne gleich treffen, verschwinden sie im Verhältnis fast vollständig. Es bleibt nur etwas mehr Rauschen, weil in diesen Bildern weniger Photonen ankommen.
Blaues Licht wird stärker gestreut. Sind die Vergleichssterne röter als das Ziel, werden sie mit steigender Airmass relativ heller, und im Verhältnis bleibt ein Trend proportional zu Δ(B−V) · X. Diesen Rest beschreiben wir in der Auswertung mit einem Airmass-Polynom, das gemeinsam mit dem Transit angepasst wird.
Ein Fallstrick aus HAT-P-33b. Steigt die Airmass über den Transit monoton und ist die Baseline davor kurz (dort 0,65 h), kann der Trend Teile der Tiefe schlucken.
Ein einzelner Stern mit Anteil w am Ensemble und Helligkeitsänderung A verfälscht die Lichtkurve um etwa w · A. Wird er genau im Transitfenster heller, wächst der Nenner, und der Transit erscheint tiefer.
Unsere Messung. Bei HAT-P-33b war G06 laut Gaia veränderlich und im Transitfenster um 7,2 ppt heller (7σ). Mit G06 ergab der Fit Rp/R★ = 0,0962, ohne G06 0,0927. Das Rauschen außerhalb des Transits war in beiden Fällen gleich (9,43 ppt), deshalb ist der Test „Vergleichsstern im Transitfenster“ seither fester Teil des Ergebnisblatts.
Das Rauschen des Verhältnisses enthält das des Ziels und das des Ensembles:
Mit einem gleich hellen Vergleichsstern steigt das Rauschen um 41 %, mit fünf um 10 %, mit zehn um 5 %. Mehr Sterne helfen danach kaum noch, erhöhen aber das Risiko, einen Veränderlichen aufzunehmen.
Bei HAT-P-42b wurden drei Kandidaten ausgeschlossen, nämlich einer mit RUWE 23, einer mit dem Gaia-Flag VARIABLE und einer, der sich im Transitfenster um −4,2 ± 1,3 ppt änderte.
Nach dem Fit bleiben Residuen. Ob sie nur zufällig streuen oder zeitlich zusammenhängen, entscheidet darüber, wie ehrlich die Fehlerbalken sind. Bei hellen Sternen bestimmt außerdem oft die Luft das Rauschen, nicht die Kamera.
Oben sehen Sie Residuen einer Nacht, darüber Mittelwerte aus je n Punkten. Ist das Rauschen unabhängig von Punkt zu Punkt, fällt die Streuung der Mittelwerte wie 1/√n, und im unteren Diagramm liegen die Punkte auf der Linie.
Seeing-Wellen, Nachführung oder dünne Wolken erzeugen zeitlich korrelierte Schwankungen. Hier sind sie als Prozess mit einer Korrelationszeit von 25 min eingemischt. Die gemittelten Punkte wandern jetzt als Wellen, und die Streuung fällt langsamer als 1/√n.
Winn et al. (2008) vergleichen die Streuung der Blockmittel mit der Erwartung für weißes Rauschen:
β = 1 heißt weißes Rauschen. In unserer Auswertung wird β über Blocklängen von 10 bis 30 min gemittelt, etwa die Dauer eines Ingress, und die Fehlerbalken werden damit multipliziert.
Unsere Messung. HAT-P-33b ergab β = 1,22 ohne Flat und 1,04 mit Flat.
Luftunruhe lässt die Helligkeit flackern, stärker bei kleiner Öffnung, kurzer Belichtung und hoher Airmass. Nach Young (1967):
Bei 150 mm Öffnung, X = 1,5 und 20 s sind das rund 4,5 ppt pro Bild, mit der empirischen Osborn-Korrektur eher 7 ppt. Das ist der größte Teil der gemessenen 9,4 ppt aus dieser Nacht.
KELT-7 ist mit G = 8,5 so hell, dass 1,5 bis 2,5 s belichtet wurde. Die Szintillation steigt dann auf rund 25 ppt pro Bild, und der Verschluss war nur etwa 6 % der Zeit offen. Die Mittenzeit ist entsprechend schwach bestimmt.
Unsere Messung. Bei KELT-7b ergab sich am 18.10.2026 nach Gewichtung pro Bild ein O−C von +25,5 min (+6/−8). Beim nächsten hellen Stern belichten wir 20 bis 60 s und defokussieren leicht, das bringt grob Faktor 3 bis 4 weniger Rauschen.
Der Fit sucht die Parameter, unter denen die gemessene Lichtkurve am wahrscheinlichsten ist. Die MCMC liefert nicht einen Wert, sondern Tausende plausible Werte. Ihr Histogramm ist der Fehlerbalken.
Bei gaußschem, unabhängigem Rauschen ist die Log-Likelihood bis auf eine Konstante das negative halbe χ²:
Links oben ist sie für zwei Parameter aufgespannt, nämlich für die Verschiebung der Mittenzeit ΔTc und das Radienverhältnis k. Die Flächen sind die 1σ-, 2σ- und 3σ-Bereiche (Δχ² = 2,3 / 6,2 / 11,8).
Sechzehn Walker starten absichtlich daneben, bei ΔTc = +9 min und k = 0,118. Bei jedem Schritt schlägt jeder Walker einen Sprung entlang der Linie zu einem anderen Walker vor (Stretch-Move wie in emcee). Ein Sprung bergab wird immer angenommen, einer bergauf nur mit der Wahrscheinlichkeit e−Δχ²/2.
Nach der Einlaufphase sind die Positionen Stichproben aus der Posterior-Verteilung:
Der Median ist der Wert, das 16. und 84. Perzentil sind die ±1σ-Grenzen, auch bei schiefen Verteilungen. Deshalb stehen im Ergebnis + und − getrennt. Unten liegen fünfzehn zufällig gezogene Modelle über den Daten.
Mit 12 ppt pro Punkt statt 5 werden Landschaft und Histogramme breiter. ΔTc und k hängen dabei kaum zusammen. Die Mittenzeit steckt in der Symmetrie der Flanken, die Tiefe im Boden.
Unsere Messung. Bei HAT-P-33b ergaben 1077 Bilder à 20 s mit 9,4 ppt pro Bild für Tc eine Unsicherheit von +2,2/−2,0 min.
Mehrere unabhängige Ketten prüfen, ob alle dieselbe Verteilung gefunden haben (Gelman-Rubin):
W ist die mittlere Varianz innerhalb einer Kette, B die Streuung der Kettenmittel. R-hat nahe 1 heißt, dass sich die Ketten einig sind. Hier zählt jeder Walker als eigene Kette.
Unsere Messung. HAT-P-33b lief mit 15 Ketten und erreichte R-hat = 1,003.
Eine Ephemeride sagt voraus, wann der nächste Transit kommt. Jede neue Messung prüft und verbessert sie. Genau dafür sammelt ExoClock Amateurdaten. Die Mission Ariel braucht ab etwa 2029 Transitzeiten, die auf wenige Minuten genau vorhergesagt sind.
Oben stehen unsere ausgewerteten Nächte, jede gegen die ExoClock-Ephemeride ihres Planeten:
Vier Nächte liegen innerhalb ihres Fehlers. WASP-135b und KELT-7b liegen gut 3σ des eigenen Messfehlers daneben. Bei WASP-135b blieb die Abweichung in allen Tests stabil zwischen −2,5 und −4,6 min. Ob die Vorhersage selbst etwas danebenliegt, zeigt erst ihr eigener Fehler. Bei KELT-7b scheidet die Uhr aus (NTP-Protokoll geprüft), wahrscheinlicher ist eine Systematik im verrauschten Ingress.
z ist hier nur mit dem eigenen Messfehler gerechnet, der Fehler der Vorhersage fehlt in dieser Darstellung.
Die lineare Ephemeride und ihr Fehler (T₀ und P hier vereinfacht unabhängig):
Bei σP = 1 s sind nach 1000 Epochen 17 min Unsicherheit erreicht, bei P = 3,47 d etwa 10 Jahre. Ab dann liefert jede Messung mit ±2 min echte Information.
Ist die Periode um 0,8 s zu kurz angesetzt, wächst O−C linear mit der Epoche. Die häufigste Ursache großer O−C ist genau das, nämlich eine veraltete Ephemeride, deren Fehler sich über die Jahre aufsummiert. Eine gewichtete Ausgleichsgerade durch viele Messungen liefert die korrigierte Periode.
Ein weiterer Planet, Gezeitenzerfall oder Apsidendrehung können die Transitzeiten periodisch verschieben (Transit Timing Variations). Bei den meisten heißen Jupitern sind sie kleiner als eine Minute. Hier ist eine Schwankung von 3 min eingestellt. Erst viele Messungen mit kleinem Fehler machen sie sichtbar.
ExoClock passt jede Kurve selbst an und vergleicht die Tiefe mit der Literatur. Weicht sie stark ab, steckt Systematik in der Kurve, und die könnte auch Tc verschoben haben.
Unter 2 ist gut, unter 3 akzeptabel, ab 3 rot. Der Regler unten rechnet mit den Fehlern aus HAT-P-33b.
Unsere Messung. Für HAT-P-33b ergibt sich (0,0966 − 0,1058) / √(0,0025² + 0,0011²) = −3,37. Die Mittenzeit war solide, die Tiefe bestand das Kriterium nicht.